§中点連結定理

中点連結定理を利用してみましょう~


中点連結定理は非常に応用範囲の広い定理です。
ここでは、特に面白い問題を一つだけ取り上げてみます。

まず、4角形を描いてみてください。
どんな4角形でも構いません。
凸4角形だけでなく、凹4角形でもいいですよ。
次に、その4角形の各辺の中点を取ってください。
それでは、その中点たちを結んで4角形を作ってください。
描けましたか?
あなたがいま描いた4角形、平行四辺形です。

すごいでしょ?
どんな4角形であろうと、各辺の中点を結んで4角形を作ると、それは自動的に平行四辺形になっちゃうんです。
不思議ですよね~。
この問題は、教科書や問題集に必ず載っていますが、皆そのすごさに気付かずに通り過ぎていくみたいです。

証明はとっても簡単!
中点連結定理をきちんと理解していればすぐに分かります。
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問題

任意の4角形において、各辺の中点を結んでできる4角形は平行四辺形であることを証明しなさい。



[証明1]

4角形ABCDにおいて、AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれK、L、M、Nとする。

中点連結定理より

KL ⁄ ⁄ AC
NM ⁄ ⁄ AC
よって、
KL ⁄ ⁄ NM・・・(1)

同様にして

LM ⁄ ⁄ BD
KN ⁄ ⁄ BD
より
LM ⁄ ⁄ KN・・・(2)

(1)、(2)より4角形KLMNは平行四辺形。

(証明終わり)


[証明2]

4角形ABCDにおいて、AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれK、L、M、Nとする。

中点連結定理より

KL ⁄ ⁄ AC ,
KL=
1
ライン
2
AC
NM ⁄ ⁄ AC ,
NM=
1
ライン
2
AC
ゆえに
KL ⁄ ⁄ NM , KL=NM

よって、1組の向かい合う辺が平行かつ等しいから、4角形KLMNは平行四辺形。

(証明終わり)

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