§中点連結定理

さて、小学校の算数以来、三角形についてはいろいろと学んできたと思いますが、ここで更なる素晴らしい定理をご紹介します。
その名も「中点連結定理」。
漢字ばっかりですね。
まあ、名前なんて何だっていいんですが、つまり中点を結んだ時に起きること、っていうことです。

その内容はこうです。
三角形の2辺の中点を結ぶ。すると、なんとその線分は残りの1辺に平行になっちゃう!
しかも長さは半分!
ちょっとすごいでしょ。
何のことか分かり難かったら、とにかく下のアニメーションを見てください。
仮定が黒、結論が赤です。
(アニメーションを繰り返すには、「もう一回」をクリックしてください。)
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中点連結定理

ΔABCにおいて、M、NをそれぞれAB、ACの中点とすると、
MN ⁄ ⁄ BC
MN=
1
ライン
2
BC


この定理の証明は、とても簡単です。
MNを2倍に延長する、このアイディアが肝です。

[証明]

直線MN上に、

MN=NL
となる点Lを取る。

4角形AMCLにおいて、

AN=NC
MN=NL
だから、対角線が互いの中点で交わっている。従って、4角形AMCLは平行四辺形であり、
AM//LC
AM=LC
すると、AM=MBだったから、
MB//LC かつ MB=LC
よって、4角形MBCLは平行四辺形であり、
ML//BC かつ ML=BC
MN=
1
ライン
2
MLだったから、

MN//BC
MN=
1
ライン
2
BC

(証明終わり)

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