§中点連結定理

中点連結定理の逆とその証明~


中点連結定理は分かったけど、「逆」って???と思うかもしれませんね。
内容がちょうどさかさまになっている定理、ということです。

つまり、ΔABCにおいて、ABの中点Mは固定しておくとして、
「NがACの中点」⇒「MN ⁄ ⁄ BC」
が「中点連結定理」で、その逆とは、
「MN ⁄ ⁄ BC」⇒「NがACの中点」
ということです。
(⇒は数学で使う「ならば」記号です。)

矢印の向きがちょうど逆でしょう?
これらは明確に違う定理なので、しっかり区別して理解してくださいね。
--広告--

中点連結定理の逆

ΔABCにおいて、MがABの中点であり、AC上の点Nについて
MN ⁄ ⁄ BC
ならば、
NはACの中点
MN=
1
ライン
2
BC


証明は2通りご紹介します。
一つ目は正攻法で、二つ目はちょっとずるいやり方です^^;
でも、もちろんちゃんとした証明ですよ。

[証明1]

Mを通りACに平行な直線と、BCとの交点をLとする。

すると、MN ⁄ ⁄ BCだったから4角形MLCNは平行四辺形である。従って向かい合う辺は等しいから、

MN = LC ・・・(1)
ML = NC ・・・(2)

また、ΔAMNとΔMBLについて、

仮定から AM = MB
MN ⁄ ⁄ BCより同位角が等しいから ∠AMN = ∠MBL
AC ⁄ ⁄ MLより同様に ∠MAN = ∠BML
よって、1辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、
ΔAMN ≡ ΔMBL
従って対応する辺は等しいから
MN = BL・・・(3)
AN = ML・・・(4)

(1)、(3)より

MN=
1
ライン
2
BC
(2)、(4)より
NはACの中点

(証明終わり)



[証明2]

仮定から

MN//BC

ACの中点をN'とすると中点連結定理より

MN'//BC

Mを通りBCに平行な直線は唯一つだから

N=N'

従って、NはACの中点であり、中点連結定理より

MN=
1
ライン
2
BC

(証明終わり)


--広告--
HTML Comment Box is loading comments...