§中点連結定理

台形の中点連結定理とその証明~


「台形の中点連結定理」は、学校では習わないと思います。
でも、これがないと平行線と線分比の定理が証明できないので、ここではご紹介することにしますね。
それより何より、結果がとてつもなく美しい!
台形の平行じゃない2辺の中点を結ぶと、残りの2辺に平行になるばかりか、長さが平均になっちゃうんですよ!!!
こんな素晴らしい性質を知らないままに過ごすなんてもったいない!

以下で、この素晴らしい定理とその証明をじっくり味わってください。
証明は、これまでに学校で学習した内容が分かっていれば、決して難しくありません。
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台形の中点連結定理

AD ⁄ ⁄ BCの台形ABCDにおいて、M、NをそれぞれAB、DCの中点とすると
MN ⁄ ⁄ BC
MN=
1
ライン
2
(AD+BC)



[証明]

ANの延長とBCとの交点をLとする。

ΔANDとΔLNCについて、

仮定から ND=NC
対頂角は等しいから ∠AND=∠LNC
AD ⁄ ⁄ CLだから錯角が等しく ∠NDA=∠NCL
よって、1辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
ΔAND≡ΔLNC

従って、対応する辺は等しく

AN=NL・・・(1)
AD=CL・・・(2)

するとΔABLにおいて、

仮定から MはABの中点
(1)より NはALの中点
だから、中点連結定理より
MN ⁄ ⁄ BL つまり MN ⁄ ⁄ BC
MN=
1
ライン
2
BL
ここで(2)より
MN=
1
ライン
2
(BC+CL)

   =
1
ライン
2
(BC+AD)

(証明終わり)


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