§中点連結定理

台形の中点連結定理の逆とその証明~


中点連結定理シリーズの最後は、「台形の中点連結定理の逆」です。
「中点連結定理」とその逆の時と同じように、「台形の中点連結定理」の逆になっている定理、ということです。

AD ⁄ ⁄ BCの台形ABCDにおいて、MをABの中点とします。
このとき、DC上の点Nについて
「NがDCの中点」⇒「MN ⁄ ⁄ BC」
が「台形の中点連結定理」で、
「MN ⁄ ⁄ BC」⇒「NがDCの中点」
がその逆です。

もし理解しにくかったら、アニメーションをよく見て、何が先で何が後なのかをしっかり考えてみてください。
これ、結構大事なことなんですよ。
幾何学(図形)では、というか数学には順番があって、何が先で何が後なのかが重要なんです。
--広告--

台形の中点連結定理の逆

AD ⁄ ⁄ BCの台形ABCDにおいて、ABの中点をMとする。
DC上の点Nについて
MN ⁄ ⁄ BC
ならば、
NはDCの中点
MN=
1
ライン
2
(AD+BC)


証明は、中点連結定理の逆を使えばとても簡単です。

[証明1]

ACとMNの交点をLとする。

中点連結定理の逆より

LはACの中点・・・(1)
ML=
1
ライン
2
BC ・・・(2)

(1)より同様にして

NはDCの中点
LN=
1
ライン
2
AD ・・・(3)

(2)、(3)より

MN=
1
ライン
2
BC +
1
ライン
2
AD

  =
1
ライン
2
(AD+BC)

(証明終わり)



台形の中点連結定理を利用した証明も紹介しておきます。

[証明2]

仮定から

MN ⁄ ⁄ BC

DCの中点をN'とすると、台形の中点連結定理より

MN' ⁄ ⁄ BC

Mを通りBCに平行な直線は唯一つだから、

N=N'
従ってNはDCの中点であり、台形の中点連結定理より
MN=
1
ライン
2
(AD+BC)

(証明終わり)


--広告--
HTML Comment Box is loading comments...