§平行線と線分比の定理

さあ、いよいよ平行線と線分比の定理の登場です。
この定理について、漠然と「相似だから・・・」と思い込んでいる方も多いと思います。
でも、二つの図形が相似であることは、どのように定義すればいいのでしょうか。
その定義に、この平行線と線分比の定理は必要ないでしょうか。
平行線と線分比の定理を、中点連結定理たちから導いて、これを基に二つの三角形の相似を定義するのが自然であるように思います。
ちょっと長い証明ではありますが、是非読んでみてください。
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平行線と線分比の定理

(1) 右図において、DE ⁄ ⁄ BCならば
AB : AD = AC : AE = BC : DE
逆に、AB : AD = AC : AEならば
DE ⁄ ⁄ BC
(2) 右図において、DE ⁄ ⁄ BCならば
AB : AD = AC : AE = BC : DE
逆に、AB : AD = AC : AEならば
DE ⁄ ⁄ BC

[(1)の証明]

AB : AD = n : k  (n , kは自然数で n > k)であるとき、

AC : AE = n : k
であることを示す。

辺ABのn等分点をB1 , B2 , B3 , ··· , Bk , ··· , Bn−1とし、B1 , B2 , B3 , ··· , Bk , ··· , Bn−1を通りBCに平行な直線とACとの交点をそれぞれC1 , C2 , C3 , ··· , Ck , ··· , Cn−1とする。

仮定から

D = Bk , E = Ck
である。

ΔAB2C2について、B1はAB2の中点で、B1C1 ⁄ ⁄ B2C2だから、中点連結定理の逆より、

C1はAC2の中点、つまり AC1 = C1C2

台形B1B3C3C1について、B2はB1B3の中点で、B2C2 ⁄ ⁄ B1C1だから、台形の中点連結定理の逆より、

C2はC1C3の中点、つまり C1C2 = C2C3

以下同様にすれば、C1 , C2 , C3 , ··· , Ck , ··· , Cn−1がACのn等分点であることが分かる。従って、

AC : AE = AC : ACk = n : k
である。

またこのことから、逆に、ABのn等分点B1 , B2 , B3 , ··· , Bn−1、 ACのn等分点C1 , C2 , C3 , ··· , Cn−1について、

B1C1 ⁄ ⁄ B2C2 ⁄ ⁄ B3C3 ⁄ ⁄  ···  ⁄ ⁄ Bn−1Cn−1 ⁄ ⁄ BC・・・(※)
であることがすぐに導かれる。

次に、AB : ADが整数比で表せない場合を考える。

仮に、

AD
ラインライン
AB
>
AE
ラインライン
AC
であるとすると、nをうまく選べば、DがABのn等分点のk番目BkよりもBに近く、EがACのn等分点のk番目CkよりもAに近くなるようにできる。すると、線分DEと線分BkCkは交わることになる。

ところが仮定から

DE ⁄ ⁄ BC
また、
BkCk ⁄ ⁄ BC ((※)より)
だから
DE ⁄ ⁄ BkCk
でなければならず、これは矛盾。

AD
ラインライン
AB
<
AE
ラインライン
AC
としても同様。

ゆえにAB : ADが整数比で表せない時も、DE // BCならば

AD
ラインライン
AB
=
AE
ラインライン
AC
である。

以上により、DE // BCならば

AB : AD = AC : AE
であることが示された。

逆もすぐに導かれる。

さて次に、DE // BCならば

AB : AD = BC : DE
であることを示す。

Dを通りACに平行な直線とBCとの交点をFとする。

DF // ACだから

BC : FC = BA : DA・・・(α)
また、DFCEは平行四辺形だから、向かい合う辺は等しいから
FC = DE・・・(β)
よって(α)、(β)より
BC : DE = AB : AD
である。

(証明終わり)

[(2)の証明]

Aを通りBCに平行な直線lと、Dを通りECに平行な直線mを引き、lとmの交点をF、mとBCの交点をGとする。
AF / / BGだから、(1)より

AB : AD = FG : FD・・・(γ)
4角形ACGF、AFDEはいずれも平行四辺形だから、向かい合う辺は等しく
FG=AC , FD=AE・・・(δ)
よって(γ)、(δ)より
AB : AD = AC : AE

逆もすぐに導かれる。

また、AC / / DGだから、(1)より

AB : AD = CB : CG・・・(ε)
4角形ECGDは平行四辺形だから
CG = ED・・・(ζ)
よって(ε)、(ζ)より
AB : AD = BC : DE

(証明終わり)

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